【Édition du Ministère de l'Éducation】Mathématiques du collège, 8e année, 1er semestre : Découverte des fractions : définitions, exploration du sens et propriétés fondamentales

Imaginez que vous ayez deux terrains de forme complexe entre vos mains, et que vous deviez utiliser une formule unique pour décrire leur rapport d'aire. Lorsque ce rapport ne peut plus être exprimé par un nombre entier simple (comme $\frac{3}{4}$), mais nécessite l'introduction d'une variable (comme $x$) pour modéliser les variations, nous passons du domaine des fractions à celui des fractions algébriques.fractionsà celui desfractions的奇妙世界。分式是代数学中的“高级语言”，它赋予了字母在分母中“跳舞”的权利，从而让我们能刻画现实世界中更为复杂的数量依存关系。

I. Définition des fractions : l'« habitat » des lettres

Une fraction n'est pas simplement un assemblage de deux polynômes. Son âme essentielle réside dansle dénominateurSi nous écrivons une fraction sous la forme $\frac{A}{B}$, alors $A$ et $B$ doivent être des expressions entières, et surtout :le dénominateur $B$ doit contenir une lettreC'est le seul critère permettant de distinguer les expressions entières des fractions.

II. Exploration du sens : le « domaine interdit » du zéro

Dans le royaume des mathématiques, un dénominateur nul est une interdiction absolue. Ainsi, pour la fraction $\frac{A}{B}$, avoir un sensle prérequis est : $B \neq 0$. Cette contrainte agit comme une barrière de sécurité, garantissant la rigueur de la logique algébrique. Lorsque nous discutons de la valeur nulle d'une fraction, il faut satisfaire simultanément deux conditions : le numérateur est nul et le dénominateur est non nul.

Astuce de reconnaissance

Pour déterminer si une expression est une fraction, observez d'abord si elle possède l'apparence $\frac{A}{B}$. Ensuite, examinez le dénominateur. Si le dénominateur contient uniquement une constante ou $\pi$, il s'agit toujours d'une expression entière. Si le dénominateur contient des lettres telles que $x$, $a$, $t$, alors il s'agit d'une fraction.

III. Propriétés fondamentales : la magie de l'équivalence

Les propriétés fondamentales des fractions sont une version évoluée des propriétés des fractions ordinaires : multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le mêmenon nulexpression entière non nulle ne change pas sa valeur. C'est la base logique pour effectuerla simplification(“mettre en évidence”) etle calcul du commun dénominateur(“opération sur le même rail”), qui constitue le fondement logique.

🎯 Règle fondamentale

1. Forme : $\frac{A}{B}$ (où $A$ et $B$ sont des expressions entières, et $B$ contient une lettre) ;
2. Contrainte : $B \neq 0$ pour avoir un sens ;
3. Âme : le numérateur et le dénominateur varient ensemble, la valeur reste inchangée.

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} \quad (M \neq 0)$

QUESTION 1

[Compléter les blancs] 1. Complétez et indiquez si l'expression remplie est une fraction : (1) Un écrivain met $m$ jours pour terminer la première partie d'un roman, puis $n$ jours pour la deuxième partie. Le roman compte 1200000 mots. La production moyenne par jour est de ______ ; (2) Pour parcourir 10 km, marcher prend $2x$ heures. Le vélo prend la moitié du temps de marche moins 0,2 heure. La vitesse en vélo est de ______ ; (3) A termine un travail en $t$ heures. B le termine 1 heure plus tôt. Le travail total est de 1. L'efficacité de B est de ______.

(1) $\frac{120}{m+n}$ (fraction); (2) $\frac{10}{x-0.2}$ (fraction); (3) $\frac{1}{t-1}$ (fraction)

(1) $120(m+n)$ (expression entière); (2) $\frac{10}{x}$ (fraction); (3) $\frac{1}{t}$ (fraction)

QUESTION 2

[Réponse courte] 3. Quelles conditions doit respecter $x$ pour que les fractions suivantes aient un sens ? (1) $\frac{1}{3x}$; (2) $\frac{1}{3-x}$; (3) $\frac{x-5}{3x+5}$; (4) $\frac{1}{x^2-16}$.

(1) $x \neq 0$; (2) $x \neq 3$; (3) $x \neq -\frac{5}{3}$; (4) $x \neq \pm 4$

(1) $x=0$; (2) $x=3$; (3) $x=-\frac{5}{3}$; (4) $x=4$

QUESTION 3

[Réponse courte] Simplifiez : (1) $\frac{2bc}{ac}$; (2) $\frac{(x+y)y}{xy^2}$; (3) $\frac{x^2+xy}{(x+y)^2}$; (4) $\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$.

(1) $\frac{2b}{a}$; (2) $\frac{x+y}{xy}$; (3) $\frac{x}{x+y}$; (4) $\frac{x+y}{x-y}$

(1) $\frac{2b}{c}$; (2) $\frac{y}{x}$; (3) $\frac{1}{x+y}$; (4) $\frac{x-y}{x+y}$

QUESTION 4

[Réponse courte] 1. Écrivez les résultats des questions 1 et 2 du §15.2.1.

Question 1 : $\frac{s}{a}$; Question 2 : $\frac{v}{a}$

Question 1 : $sa$; Question 2 : $v-a$

QUESTION 5

[Compléter les blancs] 1. Complétez : (1) $3^0 = \_\_\_$, $3^{-2} = \_\_\_$; (2) $(-3)^0 = \_\_\_$, $(-3)^{-2} = \_\_\_$; (3) $b^0 = \_\_\_$, $b^{-2} = \_\_\_ (b \neq 0)$.

(1) $1, \frac{1}{9}$; (2) $1, \frac{1}{9}$; (3) $1, \frac{1}{b^2}$

(1) $0, -9$; (2) $0, -9$; (3) $0, -b^2$